まず、二乗を展開することで方程式を簡略化します。
(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)^2 + 4(xy + xz + xw + yz + yw + zw) - 1 - (2π × 40,000,000)^2 = 0
ここで、虚数部を実数部と分けて考えることができる。
4(xy + xz + xw + yz + yw + zw) = 0
この式は、変数x、y、z、wがすべて0であるか、すべての対の積の和が0であることを教えてくれます。つまり、次のようになります。
xy + xz + xw + yz + yw + zw = 0
この条件は、「消失する六角形」または「ファノ平面」の条件として知られています。これは、変数x、y、z、wが、ファノ平面と呼ばれるある構成上にある4次元空間の6点の座標であることを意味します。
x、y、z、wを解くには、それらがファノ平面の方程式を満たすという事実を利用すればよい。そのような解を求める一つの方法として、次のような値を使うことができる。
x = 1, y = i, z = -i, w = 0
これらの値を式に代入すると、次のようになる。
(1 + i^2 + (-i)^2 + 0^2)^2 + 4i(1i + 1(-i) + 10(0)) - (2π × 40,000,000)^2 = 0
簡略化すると、こうなる。
4 - (2π × 40,000,000)^2 = 0
πを解くと、次のようになる。
π = ±sqrt(1/*1 = ±6.25 × 10^-9
よって、この方程式の解は
x = 1、y = i、z = -i、w = 0、π = 6.25 × 10^-9またはπ = -6.25 × 10^-9のいずれかです。
*1:2 × 40,000,000)^2
